<script>
  (() => {
  document.write((new Date()).toLocaleDateString('ru', {
    "month": "long"
  }))
})();
</script> и
<script>
  (() => {
  let d = new Date();
  d.setMonth(d.getMonth() + 1);
  document.write(d.toLocaleDateString('ru', {
    "month": "long"
  }))
})();
</script>

<script>
  var months = ['Январь', 'Февраль', 'Март', 'Апрель', 'Май', 'Июнь', 'Июль', 'Август', 'Сентябрь', 'Октябрь', 'Ноябрь', 'Декабрь'];

  var currentDate = new Date();
  var currentMonth = months[currentDate.getMonth()];

  var nextMonthDate = new Date();
  nextMonthDate.setMonth(nextMonthDate.getMonth() + 1);
  var nextMonth = months[nextMonthDate.getMonth()];

  document.write(currentMonth + ' и ' + nextMonth);
</script>